多次元尺度構成法：データの可視化

多次元尺度構成法：データの可視化

手法の概要

多次元尺度構成法は、たくさんのデータが複雑に絡み合った様子を、より分かりやすく整理するための方法です。この方法は、高次元と呼ばれる複雑なデータの構造を、低次元と呼ばれるより単純な形で表現することで、データの本質を捉えやすくします。

例えば、たくさんの都市間の距離データを考えてみましょう。それぞれの都市間の距離は全て分かっているものの、全体像を把握するのは難しい場合があります。このような場合、多次元尺度構成法を用いることで、都市間の距離関係を保ったまま、二次元の地図上に都市を配置できます。これにより、地理的な位置関係を直感的に理解することができます。

この手法は、主成分分析と同じように、データの次元を減らす方法の一つです。しかし、両者はデータの何を重視するかが異なります。主成分分析は、データの散らばり具合を最大化する軸を見つけ出すことで、データ全体のばらつきを捉えようとします。一方、多次元尺度構成法は、データ同士の距離関係を保つことを重視します。つまり、元のデータで近い関係にあったものは、変換後も近くに配置され、遠い関係にあったものは、変換後も遠くに配置されます。

この特性により、多次元尺度構成法は、データ間の似ているか似ていないかを視覚的に把握するのに非常に役立ちます。例えば、様々な食品の味の類似度データを分析する場合を考えてみましょう。多次元尺度構成法を用いることで、味の似た食品は近くに、味の異なる食品は遠くに配置された二次元マップを作成することができます。このマップは、消費者の好みを分析したり、新しい食品を市場に投入する際の戦略を立てる上で、貴重な情報源となります。また、競合製品との比較や、自社製品の市場における位置付けを理解するのにも役立ちます。

手法の種類

多次元尺度構成法には、大きく分けて二つの手法があります。一つは計量多次元尺度構成法、もう一つは非計量多次元尺度構成法です。

計量多次元尺度構成法は、対象の間の距離を数値で正確に表すことを目指します。例えば、いくつかの都市の間の実際の距離を測ったデータがあるとします。このデータを元に、都市の位置関係を二次元の地図上に再現することができます。この場合、都市間の距離は実際の距離とできるだけ一致するように表現されます。他の例として、製品の成分比率データから製品間の類似性を視覚的に表現する場合なども、計量多次元尺度構成法が適しています。このように、計量多次元尺度構成法は、数値データから対象間の正確な関係性を把握したい場合に有効です。

一方、非計量多次元尺度構成法は、対象の間の距離の大小関係を保つことを重視します。例えば、様々な食品を複数の人に味わってもらい、「似ている」「似ていない」といった感覚的な評価をデータとして集めたとします。このデータは数値ではありませんが、食品間の類似性の程度を表しています。非計量多次元尺度構成法を用いることで、このような主観的な評価データからでも、食品間の関係性を二次元マップ上に表現できます。マップ上で近い位置にある食品は似ていると評価され、遠い位置にある食品は似ていないと評価されたことを意味します。このように、非計量多次元尺度構成法は、数値化できないデータからも対象間の関係性を視覚的に表現したい場合に役立ちます。

このように、多次元尺度構成法には二つの種類があり、扱うデータの種類や分析の目的に合わせて適切な手法を選ぶことが大切です。数値データのように正確な距離が重要な場合は計量多次元尺度構成法を、感覚的な評価のように距離の大小関係が重要な場合は非計量多次元尺度構成法を選ぶことで、より効果的な分析を行うことができます。

利用例

多次元尺度構成法は、様々な分野で活用されるデータ分析手法です。高次元データの関係性を低次元空間（通常は二次元）で視覚的に表現することで、データに潜む構造やパターンを把握しやすくします。

販売戦略に役立つ情報を得ることを目的とした市場調査では、消費者の商品に対するイメージや評価を測るために使われます。例えば、様々な菓子に対して「甘い」「しょっぱい」「高級感がある」「手軽だ」といった複数の尺度で評価を集めます。これらのデータを多次元尺度構成法で分析することで、二次元の図上に各菓子の位置を配置できます。似たイメージの商品同士は近くに、異なるイメージの商品同士は遠くに配置されるため、市場における競合関係や消費者の選好構造を視覚的に理解できます。この視覚的な情報は、新商品の開発や既存商品の改良、効果的な広告戦略の立案などに役立ちます。

心理学の分野では、人間の心の中にある概念やイメージの構造を解明するために用いられます。例えば、被験者に様々な感情を表す言葉（「喜び」「悲しみ」「怒り」「驚き」など）を提示し、それぞれの言葉の類似度を評価してもらいます。「喜び」と「楽しさ」は類似度が高く、「喜び」と「悲しみ」は類似度が低いと評価されるでしょう。これらの類似度評定データを多次元尺度構成法で分析することで、感情の空間における各感情の位置関係を図示できます。この図は、人間の感情構造の理解に役立ち、心理療法やカウンセリングなどに応用されることもあります。

さらに、生物学の分野では、生物種間の遺伝的な近さを分析するために利用されます。それぞれの生物種の遺伝子情報を比較し、遺伝的な距離を計算します。この距離データを多次元尺度構成法で分析することで、進化の過程でどのように種が分岐してきたのかを視覚的に表現した系統樹を作成できます。このように、多次元尺度構成法は、一見複雑なデータを分かりやすく表現し、様々な現象の理解を深めるための強力な手法と言えます。

主成分分析との違い

多次元尺度構成法と主成分分析は、どちらもデータの次元を減らす手法ですが、その目的と方法は違います。たくさんの変数で表される複雑なデータを、より少ない変数で表現しやすくするのが次元削減です。

主成分分析は、データ全体のばらつき具合を重視します。データがどの変数の方向に大きく広がっているかを調べ、その広がりを最もよく表す新しい軸を見つけます。そして、この新しい軸に基づいてデータを表現することで、もとの次元よりも少ない次元でデータを近似します。主成分分析は、データ全体の傾向や特徴を掴むのに役立ちます。例えば、様々な身体的特徴を持つ人々のデータを分析する場合、身長と体重の組み合わせが全体のばらつきを最もよく説明するかもしれません。

一方、多次元尺度構成法は、データ同士の距離関係を保つことに焦点を当てます。元の高次元空間で近いデータは、低次元空間でも近くに配置され、遠いデータは遠く配置されるように調整します。多次元尺度構成法は、データ間の類似性や関係性を視覚的に把握するのに役立ちます。例えば、様々な都市間の距離データを分析する場合、多次元尺度構成法を用いることで、地図上での都市間の位置関係に似た配置を低次元空間で再現できます。

このように、主成分分析はデータ全体の広がりを捉え、多次元尺度構成法はデータ間の距離関係を捉えます。どちらの手法を選ぶかは、分析の目的やデータの性質によって異なります。データ全体の傾向を把握したい場合は主成分分析、データ間の関係性を分析したい場合は多次元尺度構成法が適していると言えるでしょう。

計算方法

多次元尺度構成法(MDS)は、高次元データの構造を視覚的に把握しやすい低次元空間に表現するための手法です。その計算方法は、いくつかの段階を経て行われます。まず初めに、分析対象となるデータ同士の類似度あるいは非類似度を数値化し、距離行列を作成します。この距離行列は、各データ間の関係性を表す重要な情報源となります。距離の尺度としては、ユークリッド距離がよく用いられますが、データの性質に合わせて適切な尺度を選択することが大切です。

次に、作成した距離行列に基づいて、低次元空間におけるデータの配置を決定します。低次元空間とは、一般的に２次元あるいは３次元空間を指し、視覚的にデータの関係性を把握することを目的としています。この配置決定の過程では、低次元空間におけるデータ間の距離が、元の高次元空間における距離になるべく近くなるように調整を行います。この調整は、ストレスと呼ばれる指標を最小化することで実現されます。ストレスとは、低次元空間におけるデータ間の距離と、高次元空間におけるデータ間の距離の差を測る指標であり、ストレス値が小さいほど、低次元空間へのデータの配置が元のデータの関係性をよく反映していると考えられます。

具体的には、データの初期配置をランダムに設定し、その後、ストレス値が小さくなるようにデータの配置を少しずつ調整していきます。この調整過程は、反復的に行われ、ストレス値がある一定の基準値を下回るまで、あるいは変化量が十分に小さくなるまで続けられます。計算には、固有値分解や最急降下法などの数値計算の手法が用いられます。これらの手法は、複雑な計算を効率的に行うために開発されたもので、MDSにおいても重要な役割を果たしています。

まとめ

多次元尺度構成法は、たくさんの情報を持つデータの見えない関係性を視覚的に捉えるための、強力な手法です。この手法は、データが持つ様々な特徴間の距離関係を保ちつつ、データの全体像を把握しやすいように、少ない情報量で表現します。例えば、様々な都市間の距離データがあったとします。このデータは都市の数だけ情報を持つため、そのままでは都市間の関係性を掴むのが困難です。多次元尺度構成法を用いることで、これらの都市を二次元の地図上に配置し、都市間の距離関係を視覚的に表現することができます。

多次元尺度構成法は、様々な分野で活用されています。例えば、マーケティング調査では、消費者製品に対する類似性を分析し、製品ポジショニングを検討する際に役立ちます。また、心理学の分野では、人が持つ様々な概念間の関係性を分析するために用いられます。さらに、遺伝子研究では、遺伝子間の類似性に基づいて系統樹を作成するなど、多様な応用が可能です。

データの次元を減らす手法は他にも、主成分分析などがあります。主成分分析は、データのばらつきが大きい方向を新たな軸として採用することで次元を削減します。一方、多次元尺度構成法は、データ間の距離関係を優先して次元を削減します。このように、両手法は異なる考え方に基づいているため、分析の目的やデータの特性に応じて使い分ける必要があります。データの持つ情報をなるべく損なわずに、少ない軸で表現したい場合は主成分分析が適しています。一方、データ間の距離関係を重視したい場合は、多次元尺度構成法が有効です。

多次元尺度構成法を適切に用いることで、複雑なデータの中に隠された関係性を発見し、新たな知見を得ることが期待できます。例えば、一見無関係に思えるデータ間に、予想外の強い関連性が見つかるかもしれません。このような発見は、新たなビジネスチャンスの創出や、社会問題の解決策の提案につながる可能性を秘めています。