マンハッタン距離：街の距離を測る

マンハッタン距離：街の距離を測る

はじめに

碁盤の目のような街路を想像してみてください。目的地まで、斜めには進めず、東西南北、つまり縦と横の道だけを通って進むとしましょう。この時、実際に移動した道のりがマンハッタン距離と呼ばれるものです。マンハッタン距離とは、二つの点の間の距離を測る一つの方法で、特に縦横の移動しか許されない状況で役立ちます。

マンハッタンという名前は、ニューヨークのマンハッタン島の街路配置に由来しています。高層ビルが立ち並ぶこの島では、道路が碁盤の目のように整備されているため、目的地へ到達するためには、縦と横の通りを進むしかありません。この様子が、マンハッタン距離の概念とよく似ていることから、この名前が付けられました。

マンハッタン距離の計算方法はとても簡単です。二つの点の座標が分かっていれば、それぞれの座標の差の絶対値を足し合わせるだけで計算できます。例えば、点Aの座標が（１，２）で、点Bの座標が（４，５）だとします。この二点間のマンハッタン距離は、横方向の差（４−１＝３）の絶対値である３と、縦方向の差（５−２＝３）の絶対値である３を足し合わせた６となります。

この一見単純な計算方法が、様々な分野で応用されています。例えば、データ分析では、異なるデータ間の類似性を測る指標として使われます。また、機械学習の分野では、様々なアルゴリズムの中で距離を測る方法として利用されています。さらに、ナビゲーションシステムで経路探索を行う際にも、このマンハッタン距離が利用されることがあります。碁盤の目状の道路が多い都市部での経路探索に適しているためです。このように、マンハッタン距離は、一見単純でありながら、様々な場面で実用的な価値を持つ強力な道具なのです。

計算方法

マンハッタン距離は、二点間の距離を測るための一つの方法です。名前の由来は、碁盤の目状に区画整理されたニューヨークのマンハッタン島の街路を、タクシーで移動する際に進む道のりに似ていることからきています。

この距離の計算方法はとても単純です。二次元の平面を考えてみましょう。二つの点があったとして、それぞれの点を位置で表す二つの数字があるとします。一つ目の数字を仮に横の位置、二つ目の数字を縦の位置と呼ぶことにします。それぞれの点の横の位置の差と縦の位置の差を計算し、そのそれぞれの差の大きさを足し合わせると、マンハッタン距離が求まります。

具体例を挙げると、一点が横の位置３、縦の位置４で表され、もう一点が横の位置７、縦の位置１で表されているとします。横の位置の差は３と７の差で４、縦の位置の差は４と１の差で３です。これらの差は正負の値を取りますが、大きさだけを考えたいので、どちらの差も正の値として扱います。つまり、差が負の値だった場合は正の値に変換します。この例では、差は既に正の値なのでそのまま使い、４と３を足し合わせると７となります。これがこの二点間のマンハッタン距離です。

この考え方は、三次元以上の空間にも拡張できます。三次元空間であれば、横の位置、縦の位置に加えて高さの位置が追加されます。そして、横、縦、高さのそれぞれの位置の差を計算し、その大きさの和を取ることでマンハッタン距離を求められます。同様に、四次元、五次元、あるいはもっと高次元の空間であっても、それぞれの次元の差の大きさをすべて足し合わせることで、マンハッタン距離を計算することができます。

この計算の利点は、計算の手間が少ないことです。よく知られているユークリッド距離とは異なり、二乗計算や平方根の計算が必要ありません。そのため、特に次元数が多い場合に計算時間の差が大きくなります。

ユークリッド距離との違い

距離の測り方には様々な種類がありますが、中でもよく知られているのがユークリッド距離とマンハッタン距離です。この二つの距離はどのように違うのでしょうか。まず、ユークリッド距離とは、二点間を直線で結んだ時の長さです。例えば、平面上にある二つの地点の、直線距離を想像してみてください。まさに、その距離がユークリッド距離です。つまり、二地点間を最短で移動する場合の距離とも言えます。では、マンハッタン距離はどうでしょうか。マンハッタン距離は、格子状の道の上を移動することを想定した距離です。ニューヨークのマンハッタン地区のように、碁盤の目状に道路が整備されている街を思い浮かべてください。この街で、ある地点から別の地点へ移動するには、道路に沿って進むしかありません。斜めに横切ることはできません。この道路に沿って移動した道のりの合計が、マンハッタン距離です。同じ二地点間でも、ユークリッド距離とマンハッタン距離は異なる値になります。ユークリッド距離は直線距離なので、常に最短です。一方、マンハッタン距離は、縦と横にしか移動できないため、ユークリッド距離よりも長くなる、もしくは同じになることがあります。例えば、同じ場所に目的地を設定した場合、ユークリッド距離はゼロになりますが、マンハッタン距離もゼロになります。また、目的地が真上か真横にある場合、マンハッタン距離とユークリッド距離は同じになります。しかし、目的地が斜め方向にある場合、マンハッタン距離は必ずユークリッド距離よりも長くなります。どちらの距離を使うかは、分析の目的や状況によって異なります。例えば、実際の道路網を考慮した経路探索を行う場合は、マンハッタン距離が適しています。一方、障害物のない空間での距離を測る場合は、ユークリッド距離が適しています。このように、二つの距離の違いを理解し、適切に使い分けることが重要です。

活用事例

マンハッタン距離は、その名の通り、ニューヨークのマンハッタンのような碁盤の目状の街区を移動する際に役立つ距離計算の方法です。直角に曲がった経路で測るため、実際の移動距離に近い値を得ることができ、様々な分野で活用されています。機械学習の分野では、データの類似度を測る指標としてマンハッタン距離が用いられます。例えば、ある商品の評価を複数の尺度で測った場合、それぞれの尺度における評価の差の絶対値を合計することで、商品全体の類似度を計算できます。これは、各尺度を座標軸とした多次元空間で、二つの点の間のマンハッタン距離を求めることに相当します。

特に、L1正則化と呼ばれる手法では、マンハッタン距離が重要な役割を果たします。L1正則化は、モデルの複雑さを抑え、過学習を防ぐための技術で、モデルのパラメータの絶対値の和を最小化するように学習を行います。これは、パラメータ空間における原点からのマンハッタン距離を最小化することに対応しています。

マンハッタン距離は、現実世界の問題解決にも応用されています。経路探索やカーナビゲーションシステムなどでは、マンハッタン距離を用いることで、より現実的な経路を導き出すことができます。碁盤の目状に区画整理された都市では、目的地までの経路は直角に曲がる道筋の組み合わせで表現できます。このような状況では、マンハッタン距離を用いることで、最短経路を効率的に計算することが可能です。

さらに、チェスや将棋のようなボードゲームにおいても、駒の移動距離を測るためにマンハッタン距離が利用されることがあります。例えば、将棋の飛車は縦横に何マスでも移動できますが、斜めには移動できません。このため、飛車の移動距離はマンハッタン距離で計算できます。このように、マンハッタン距離は、様々な場面でその有用性を発揮しています。

まとめ

マンハッタン距離とは、碁盤の目状に区切られた道のように、縦と横にのみ移動できる場合の最短距離のことです。例えば、東西に走る道と南北に走る道しかない都市で、ある地点から別の地点へ移動する場合の距離を考えると分かりやすいでしょう。この距離の測り方は、東西方向の移動距離と南北方向の移動距離を単純に足し合わせるというものです。

マンハッタン距離は、ユークリッド距離と比較すると、その特徴がより際立ちます。ユークリッド距離は、二点間を直線で結んだ距離を指します。街路を自由に横切れると仮定した場合の距離に相当します。一方、マンハッタン距離は、街路に沿って移動した場合の距離となるため、現実世界の多くの状況に即しています。

マンハッタン距離の計算は非常に簡単です。二点の座標が分かっていれば、東西方向の座標の差と南北方向の座標の差をそれぞれ計算し、その絶対値を足し合わせるだけで済みます。この計算の容易さは、大規模なデータセットを扱う場合や、処理速度が重要な場合に大きなメリットとなります。

マンハッタン距離は、様々な分野で応用されています。例えば、都市計画や物流など、現実世界の移動を扱う分野では、実際の移動経路を反映したマンハッタン距離が重要な役割を果たします。また、データ分析においても、特定の状況下ではユークリッド距離よりも適切な指標となることがあります。

マンハッタン距離は、一見単純な概念ですが、様々な場面でその有用性を発揮します。ユークリッド距離のように直線距離を用いることが適切でない場合、マンハッタン距離は有力な選択肢となります。どの距離尺度を用いるべきかは、状況に応じて適切に判断することが重要です。そのため、マンハッタン距離の特徴を理解し、適切な場面で活用できるようにしておきましょう。